Cho hình chữ nhật $OABC$ có chu vi bằng 12 được chia thành hai phần bởi parabol $(P)$ có đỉnh tại $O$ và đi qua $B$. Gọi $\Im$ là khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (phần tô đậm) xung quanh trục $Ox$ (Hình vẽ bên). Tìm thể tích lớn nhất của khối tròn xoay $\Im$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B(a;b)$ với $a,b>0$. Chu vi hình chữ nhật $OABC$ bằng 12 nên $2(a+b)=12\Rightarrow a+b=6\Rightarrow b=6-a$. Parabol $(P)$ có đỉnh $O$ nên có dạng $y=k{x}^2$; vì đi qua $B(a;b)$ nên $k=\frac{b}{a^2}=\frac{6-a}{a^2}$.

Theo hình vẽ, phần tô đậm là vùng nằm giữa parabol $y=k{x}^2$ (bên dưới) và cạnh trên $y=b$ của hình chữ nhật (bên trên), với $0\le x\le a$. Khi quay vùng này quanh trục $Ox$, thể tích khối tròn xoay là
$$V=\pi {\int }_0^a\left(b^2-(k{x}^2{)}^2\right)dx=\pi \left(b^{2}a-k^2\cdot \frac{a^5}{5}\right)=\pi \left(a{b}^2-\frac{b^{2}a}{5}\right)=\frac{4\pi }{5}a{b}^2=\frac{4\pi }{5}a(6-a{)}^2.$$

Xét $f(a)=a(6-a{)}^2$ trên $(0;6)$:
$$f^{\prime }(a)=(6-a{)}^2+a\cdot 2(6-a)(-1)=(6-a)(6-3a).$$
$f^{\prime }(a)=0\Rightarrow a=2$ (hoặc $a=6$ loại). Có $f^{\prime }(a)>0$ khi $a<2$ và $f^{\prime }(a)<0$ khi $2<a<6$, nên $V$ đạt lớn nhất tại $a=2$, khi đó $b=4$.
$$V_{\max }=\frac{4\pi }{5}\cdot 2\cdot 4^2=\frac{128\pi }{5}.$$