Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là $O$ và $O^{\prime }$.
a) Chứng minh rằng $O{O}^{\prime }$ song song với các mặt phẳng $(ADF)$ và $(BCE)$.
b) Gọi $M$, $N$ lần lượt là hai điểm trên các cạnh $AE$, $BD$ sao cho $AM=\frac{1}{3}AE$, $BN=\frac{1}{3}BD$. Chứng minh rằng $MN$ song song với mặt phẳng $(CDEF)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 95. Gọi $O$, $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$.

a) Trong tam giác $BDE$: $O$ là trung điểm $BD$ (vì $O$ là giao hai đường chéo $AC$, $BD$ của hình bình hành $ABCD$), $O^{\prime }$ là trung điểm $BE$ (vì $O^{\prime }$ là giao hai đường chéo $AE$, $BF$ của hình bình hành $ABEF$). Suy ra $O{O}^{\prime }$ là đường trung bình của tam giác $BDE$ nên $O{O}^{\prime }\parallel DE$. Xét mặt phẳng $(ADF)$: ta có $DE\subset (ADF)$ (vì $D,E\in (ADF)$) và $O{O}^{\prime }\not\subset (ADF)$ (vì $O^{\prime }\notin (ADF)$, nếu $O^{\prime }\in (ADF)$ thì $B\in (ADF)$ do $O^{\prime }\in BE$, suy ra $A,B,D,F$ cùng thuộc một mặt phẳng, mâu thuẫn với giả thiết hai hình bình hành không cùng mặt phẳng). Vậy $O{O}^{\prime }\parallel (ADF)$.

Tương tự, trong tam giác $ACF$: $O$ là trung điểm $AC$, $O^{\prime }$ là trung điểm $AF$ nên $O{O}^{\prime }\parallel CF$. Vì $CF\subset (BCE)$ ($C,F\in (BCE)$) và $O{O}^{\prime }\not\subset (BCE)$, suy ra $O{O}^{\prime }\parallel (BCE)$.

b) Ta chứng minh bằng vectơ. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{A}+\vec{C}=\vec{B}+\vec{D}$; vì $ABEF$ là hình bình hành (tâm $O^{\prime }$) nên $\vec{A}+\vec{E}=\vec{B}+\vec{F}$, tức $\vec{E}=\vec{B}+\vec{F}-\vec{A}$.

Với $AM=\frac{1}{3}AE$: $\vec{M}=\vec{A}+\frac{1}{3}(\vec{E}-\vec{A})=\frac{2}{3}\vec{A}+\frac{1}{3}\vec{E}$.
Với $BN=\frac{1}{3}BD$: $\vec{N}=\vec{B}+\frac{1}{3}(\vec{D}-\vec{B})=\frac{2}{3}\vec{B}+\frac{1}{3}\vec{D}$.

Suy ra
$$\overrightarrow{MN}=\vec{N}-\vec{M}=\frac{2}{3}\vec{B}+\frac{1}{3}\vec{D}-\frac{2}{3}\vec{A}-\frac{1}{3}\vec{E}=\frac{2}{3}\vec{B}+\frac{1}{3}\vec{D}-\frac{2}{3}\vec{A}-\frac{1}{3}(\vec{B}+\vec{F}-\vec{A})=\frac{1}{3}(\vec{B}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{F}).$$
Vì $\vec{B}+\vec{D}=\vec{A}+\vec{C}$ nên $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(\vec{C}-\vec{F})=\frac{1}{3}\overrightarrow{FC}$.

Vậy $MN\parallel FC$. Mặt khác $FC\subset (CDEF)$ (vì $F,C\in (CDEF)$) và $MN\not\subset (CDEF)$ (vì $M\in AE$ mà $AE$ cắt mặt phẳng $(CDEF)$ tại $E$, nếu $M\in (CDEF)$ thì $M=E$, mâu thuẫn với $AM=\frac{1}{3}AE$). Do đó $MN\parallel (CDEF)$. Đpcm.