Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$; $G$, $G^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB$ và $SBC$.
a) Chứng minh $MN//(SAC)$.
b) Chứng minh $G{G}^{\prime }//(SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN\parallel AC$.

Vì $AC\subset (SAC)$ và $MN\not\subset (SAC)$ (do $M\in AB$, mà $AB$ chỉ cắt $(SAC)$ tại $A$ và $M\ne A$), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $MN\parallel (SAC)$.

b) Dùng phương pháp tọa độ vector. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nên:
$$\overrightarrow{SG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}\right).$$
Tương tự, $G^{\prime }$ là trọng tâm tam giác $SBC$ nên:
$$\overrightarrow{S{G}^{\prime }}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}\right).$$
Suy ra:
$$\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\overrightarrow{S{G}^{\prime }}-\overrightarrow{SG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$$
Vậy $\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, tức $G{G}^{\prime }\parallel AC$.

Mặt khác $AC\subset (SAC)$ và $G{G}^{\prime }\not\subset (SAC)$ (vì $G$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, mà $(SAB)\cap (SAC)=SA$, và $G\notin SA$ do $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nằm trong tam giác nhưng không trên cạnh $SA$).

Do đó $G{G}^{\prime }\parallel (SAC)$ (đpcm).