Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f(x)$ thỏa mãn $f(0)=f(2)=\frac{1}{2}$ và hàm số $f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba có cực đại điểm $(0;2)$, cực tiểu điểm $(2;-2)$, cắt trục hoành tại $x=1$ và hai điểm khác, nên $f^{\prime }(x)=x^3-3x^2+2$ (kiểm tra: $f^{\prime }(0)=2$, $f^{\prime }(2)=-2$, $f^{\prime \prime }(x)=3x(x-2)$ đổi dấu đúng tại $x=0,2$). $f(0)=\frac{1}{2}\Rightarrow f(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x+\frac{1}{2}$; kiểm tra $f(2)=4-8+4+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ đúng.

a) $f^{\prime }(x)=x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)$, nghiệm $x=1-\sqrt{3}\approx -0,73$; $x=1$; $x=1+\sqrt{3}\approx 2,73$. Trên $(2;1+\sqrt{3})$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ (ví dụ $f^{\prime }(2,5)=15,625-18,75+2<0$), nên $f$ nghịch biến trên khoảng đó → khẳng định SAI.

b) Trên $[1;3]$: $f$ giảm trên $(1;1+\sqrt{3})$ và tăng trên $(1+\sqrt{3};3)$ nên GTNN tại $x=1+\sqrt{3}$ với $f(1+\sqrt{3})=-\frac{1}{2}<f(2)=\frac{1}{2}$ → khẳng định SAI.

c) Đặt $h(x)=18f\left(1-\frac{x}{3}\right)-x^2$. Với $t=1-\frac{x}{3}$: $h^{\prime }(x)=-6f^{\prime }(t)-2x=-6\left[f^{\prime }(t)+1-t\right]$. $h^{\prime }(x)=0\iff t^3-3t^2+2=t-1\iff (t-3)(t-1)(t+1)=0\iff t\in \{-1;1;3\}\iff x\in \{12;0;-6\}$. Tại đó: $h(12)=18f(-1)-144=-148,5<0$; $h(0)=18f(1)=31,5>0$; $h(-6)=18f(3)-36=-40,5<0$. Nghiệm của $h(x)=0$: $2f(t)=(1-t{)}^2\iff t(t^3-4t^2-2t+12)=0\iff t(t-2)(t^2-2t-6)=0\iff t\in \{0;2;1\pm \sqrt{7}\}\iff x\in \{3;-3;-3\sqrt{7};3\sqrt{7}\}$, cả 4 nghiệm đơn nên $h$ đổi dấu qua mỗi nghiệm. Hàm $g=|h|$ đạt cực trị tại: 4 nghiệm của $h=0$ (cực tiểu) và 3 điểm $x=-6;0;12$ với $h\ne 0$ (cực đại). Tổng cộng 7 điểm cực trị → khẳng định ĐÚNG.

d) $f^{\prime }(\sin x)=0\iff \sin x\in \{1-\sqrt{3};1\}$ (hai nghiệm thuộc $[-1;1]$; nghiệm $1+\sqrt{3}>1$ loại). Với $\sin x=1-\sqrt{3}\in (-1;1)$: trên $[0;10\pi ]$ (5 chu kỳ) có 10 nghiệm. Với $\sin x=1$: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \cdot 2$, $k=0,..,4$ → 5 nghiệm. Tổng 15 nghiệm $\ne 10$ → khẳng định SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x^3-3x^2+2<0$ trên $(2;1+\sqrt{3})$ nên $f$ không đồng biến trên toàn $(2;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;3]$, $f$ đạt GTNN tại $x=1+\sqrt{3}$ với $f(1+\sqrt{3})=-\frac{1}{2}<f(2)=\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime }(x)=0$ tại $x\in \{-6;0;12\}$ (với $h\ne 0$) và $h(x)=0$ có 4 nghiệm đơn $x\in \{\pm 3;\pm 3\sqrt{7}\}$; $g=|h|$ có $3+4=7$ điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x\in \{1-\sqrt{3};1\}$: giá trị $1-\sqrt{3}$ cho 10 nghiệm, giá trị $1$ cho 5 nghiệm trên $[0;10\pi ]$, tổng 15 nghiệm.