Cho hình lăng trụ $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $BC$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $B\left(-\frac{a}{2},0,0\right)$, $C\left(\frac{a}{2},0,0\right)$, $A\left(0,\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$. Trọng tâm $G\left(0,\frac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$, nên $A^{\prime }=\left(0,\frac{a\sqrt{3}}{6},h\right)$ với $h$ là chiều cao lăng trụ. Đường thẳng $A{A}^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\vec{d}=(0,-\frac{a\sqrt{3}}{3},h)$; đường thẳng $BC$ có vectơ chỉ phương $(1,0,0)$. Vectơ pháp tuyến chung: $\vec{n}=\vec{d}\times (1,0,0)=\left(0,h,\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$. Lấy $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{6},h\right)$, khoảng cách giữa hai đường thẳng: $$d(A{A}^{\prime },BC)=\frac{|\overrightarrow{B{A}^{\prime }}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{h\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}+h\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{h^2+\frac{a^2}{3}}}=\frac{\frac{ha\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{h^2+\frac{a^2}{3}}}.$$ Theo đề bài bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$: $$\frac{h}{2\sqrt{h^2+\frac{a^2}{3}}}=\frac{1}{4}\Rightarrow 4h^2=h^2+\frac{a^2}{3}\Rightarrow h^2=\frac{a^2}{9}\Rightarrow h=\frac{a}{3}.$$ Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$. Vậy đáp án B.