Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tụctrên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn
x 2 + 4 x -1

( ) , x $\in$ $\mathbb{R}$ và f (1) = e . Biết f (3) = a.e + c với a, b, c $\in$ $\infty$ . Tính
2 b
f ' ( x) - 2 f ( x) = x 2 + 1 e 2

2a + 3b + 4c .

Chọn A
x 2 + 4 x -1 x 2 -1
'
f ( x) - 2 f ( x) = x + 1 e( 2
) 2
$\iff$ f ( x).e ' -2 x
- 2.e -2 x
(
. f ( x) = x + 1 e 2
) 2

x 2 -1 3 x2
f ( x ) ' = x 2 + 1 e 2 $\Rightarrow$ e -2 x f ( x ) = $\int$ x 2 + 1 e 2 dx (1)
( ) ( )
3
$\iff$ e -2 x
1
1

3 x 2 -1 3 x 2 -1 3 x 2 -1 3 x 2 -1
Đặt K = $\int$ x + 1 e ( 2
) 2
dx = $\int$ x e 2 2
dx + $\int$ e 2
dx (2). Đặt L = $\int$ e 2
dx
1 1 1 1

2 2
x -1 x -1 3 x 2 -1 x 2 -1
u = e 2 du = x.e 2 .dx ( x -1)
1 2 3 3
Đặt $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ L = xe 2
- $\int$ x e dx $\Rightarrow$ L = 3e - 1 - $\int$ x e 2 dx (3)
2 2 4 2

dv = dx v = x 1 1 1

3 x 2 -1
Thay (3) vào (2) ta được K = $\int$ x + 1 e ( 2
) 2
dx = 3e 4 - 1 (4).
1

Thay (4) vào (1) ta được

a = 3

. f ( x ) = 3e - 1 $\Rightarrow$ e . f ( 3) - e . f (1) = 3e - 1 $\Rightarrow$ f ( 3) = 3e $\Rightarrow$ b = 10
-2 x 3 4 -6 -2 4 10
e
1
c = 0

$\Rightarrow$ 2a + 3b + 4c = 2(3) + 3(10) + 4(0) = 36

f ( x) g ( x) f ' ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d