Cho hàm số $f\left(x\right)=e^x+\frac{1}{2\sqrt{x}}$ xác định trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int e^{x}dx=e^x$ và $\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\sqrt{x}+C$, nên họ nguyên hàm là $F(x)=e^x+\sqrt{x}+C$. a) Đúng. b) Với $F(1)=e+1+C=e-1$ suy ra $C=-2$, tức $F(x)=e^x+\sqrt{x}-2$, không phải $+2$ → Sai. c) Đạo hàm của $\frac{e^x}{\ln 2}$ là $\frac{e^x}{\ln 2}\ne e^x$ → Sai. d) Đạo hàm của $\frac{e^{x+1}}{x+1}$ là $e^{x+1}\cdot \frac{(x+1)-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x{e}^{x+1}}{(x+1{)}^2}\ne e^x$ → Sai. Khớp đáp án nguồn ĐSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int \left(e^x+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)dx=e^x+\sqrt{x}+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=e+1+C=e-1\Rightarrow C=-2$, nên $F(x)=e^x+\sqrt{x}-2$, không phải $e^x+\sqrt{x}+2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\left(\frac{e^x}{\ln 2}\right)}^{\prime }=\frac{e^x}{\ln 2}\ne e^x$, nên đây không phải nguyên hàm của $f$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\left(\frac{e^{x+1}}{x+1}\right)}^{\prime }=\frac{x{e}^{x+1}}{(x+1{)}^2}\ne e^x$, nên đây không phải nguyên hàm của $f$.