Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a,b,c,d\in \mathbb{R},a>0)$ có đồ thị $(C)$ đi qua các điểm $O(0;0);A(1;1);B(2;4)$ và hàm số $g(x)=f(x)-x^2$ có giá trị cực đại bằng $\frac{\sqrt{3}}{18}$. Khi đó tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ có hệ số góc nhỏ nhất bằng

(AI giải đề cho tôi)
Từ O(0;0) suy ra d=0. Qua A(1;1): a+b+c=1; qua B(2;4): 8a+4b+2c=4 ⇒ 4a+2b+c=2. Trừ hai phương trình: 3a+b=1 ⇒ b=1−3a, c=2a. Khi đó g(x)=f(x)−x²=ax³−3ax²+2ax=ax(x−1)(x−2). g'(x)=3ax²−6ax+2a=0 ⇒ x=1±1/√3. Tại x=1−1/√3 (điểm cực đại): g=a·(1/√3)(1−1/3)=2a/(3√3)=√3/18 ⇒ a=1/4. Vậy f'(x)=(3/4)x²+(1/2)x+1/2, có giá trị nhỏ nhất tại x=−1/3: f'(−1/3)=1/12−1/6+1/2=5/12. Đáp án B.