Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ bên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: cực đại $(0;3)$, cực tiểu $(2;-1)$, nên $f^{\prime }(x)=3ax(x-2)\Rightarrow c=0,b=-3a$; $d=f(0)=3$; $f(2)=8a-12a+3=-1\Rightarrow a=1$. Vậy $f(x)=x^3-3x^2+3$.
a) Hàm bậc ba có tâm đối xứng tại $x=-\frac{b}{3a}=1$, $f(1)=1-3+3=1$: đúng, $I(1;1)$.
b) $a+2b+3c+4d=1-6+0+12=7\ne 6$: sai.
c) Đặt $t=\frac{11x-x^2}{6}$, $t^{\prime }=\frac{11-2x}{6}>0$ trên $[-1;2]$ nên $t$ tăng từ $t(-1)=-2$ đến $t(2)=3$. Trên $[-2;3]$: $f$ tăng trên $(-2;0)$ từ $f(-2)=-17$ đến $f(0)=3$, giảm trên $(0;2)$ xuống $f(2)=-1$, tăng trên $(2;3)$ lên $f(3)=3$. Do đó miền giá trị của $g$ là $[-17;3]$, chứa đúng 21 giá trị nguyên: đúng.
d) $h^{\prime }(x)=\frac{\left(f(x{)}^2+6f(x)+3m+2\right)f^{\prime }(x)}{(f(x)+3{)}^2}$. $f^{\prime }(x)=0$ cho $x=0,2$ (2 điểm cực trị, vì $f(0)=3,f(2)=-1\ne -3$). $f(x)=-3$ có đúng 1 nghiệm $x_0\in (-2;-1)$ (loại). Phương trình $t^2+6t+3m+2=0$ có nghiệm $t=-3\pm \sqrt{7-3m}$. Với $t\in (-1;3)$: $f(x)=t$ cho 3 nghiệm trong $(-2;3)$; $t\in (-17;-1)$: 1 nghiệm. Để tổng cộng 6 điểm cực trị cần một nghiệm thuộc $(-1;3)$ (đóng góp 3) và nghiệm kia thuộc $(-17;-1)$ (đóng góp 1), tức $2<\sqrt{7-3m}<6\iff -\frac{29}{3}<m<\frac{4}{3}$, cho 11 giá trị nguyên $m\in \{-9;-8;\dots ;1\}$, không phải 10: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng tại $x=-b/(3a)=1$, $f(1)=1$, nên $I(1;1)$ đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=1,b=-3,c=0,d=3$ ta được $a+2b+3c+4d=7\ne 6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$t=(11x-x^2)/6$ tăng từ $-2$ đến $3$ trên $[-1;2]$; $f$ trên $[-2;3]$ có min $-17$, max $3$, nên $g$ có miền giá trị $[-17;3]$ với đúng 21 giá trị nguyên.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện cho 6 điểm cực trị là $-29/3<m<4/3$, tức 11 giá trị nguyên $m\in \{-9,\dots ,1\}$, không phải 10.