Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{10-x}-3}{x-1}& \text{khi }x\ne 1,\\ (m+1)x-\frac{1}{6}& \text{khi }x=1.\end{array}$

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số liên tục tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)$.

Tính giới hạn (dạng $\frac{0}{0}$):
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{10-x}-3}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(\sqrt{10-x}-3)(\sqrt{10-x}+3)}{(x-1)(\sqrt{10-x}+3)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{10-x-9}{(x-1)(\sqrt{10-x}+3)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-(x-1)}{(x-1)(\sqrt{10-x}+3)}=\frac{-1}{\sqrt{9}+3}=-\frac{1}{6}.$$

Ta có $f(1)=(m+1)\cdot 1-\frac{1}{6}=m+\frac{5}{6}$.

Yêu cầu liên tục: $m+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}\Rightarrow m=-1$.

Vậy $m=-1$.