Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}& \text{khi }x\ne 2\\ 4& \text{khi }x=2\end{array}$. Chọn mệnh đề đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}=\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x+2)-4}=\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}=\sqrt{x+2}+2$. Suy ra $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\sqrt{4}+2=4=f(2)$, nên hàm số liên tục tại $x=2$ (A đúng, B và D sai). Kiểm tra C: $f(4)=\sqrt{6}+2\ne 2$, sai.