Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)+(x+1)f(x)=3x^2$ và $f(0)=1$. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt đường thẳng $y=1$ tại bao nhiêu điểm?

Phương trình $f^{\prime }(x)+(x+1)f(x)=3x^2$ là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Nhân cả hai vế với thừa số tích phân $e^{\frac{x^2}{2}+x}$, ta có ${\left[e^{\frac{x^2}{2}+x}f(x)\right]}^{\prime }=3x^2{e}^{\frac{x^2}{2}+x}$. Khảo sát phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=1$ trên $\mathbb{R}$, ta thấy phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt (trong đó có nghiệm hiển nhiên $x=0$ do $f(0)=1$). Do đó đồ thị cắt đường thẳng $y=1$ tại đúng 2 điểm. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn C.