Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f^{\prime }(x)+xf(x)=2x{e}^{-x^2}$ và $f(0)=-2$. Tính $f(1)$.

Nhân hai vế của phương trình $f^{\prime }(x)+xf(x)=2x{e}^{-x^2}$ với thừa số tích phân $e^{x^2/2}$:
$e^{x^2/2}{f}^{\prime }(x)+x{e}^{x^2/2}f(x)=2x{e}^{-x^2/2}⟺{\left[e^{x^2/2}f(x)\right]}^{\prime }=2x{e}^{-x^2/2}$.
Lấy nguyên hàm hai vế:
$e^{x^2/2}f(x)=\int 2x{e}^{-x^2/2}dx=-2e^{-x^2/2}+C$.
Suy ra $f(x)=-2e^{-x^2}+C{e}^{-x^2/2}$.
Theo giả thiết $f(0)=-2$:
$f(0)=-2e^0+C{e}^0=-2+C=-2⟹C=0$.
Vậy hàm số là $f(x)=-2e^{-x^2}=-\frac{2}{e^{x^2}}$.
Tại $x=1$, ta có $f(1)=-\frac{2}{e^1}=-\frac{2}{e}$.