Cho hình nón đỉnh $S$, $I$ là trung điểm đường cao $SO$ và $AB$ là đường kính đáy. Điểm $C$ nằm trên mặt nón sao cho $IC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$. Biết rằng tam giác $SAB$ đều cạnh $AB=2020\text{ km}$, tính quãng đường ngắn nhất đi từ $A$ đến $C$ trên mặt nón.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $2020\text{ km}$ đi qua trục hình nón nên:
- Đường sinh $l=SA=SB=2020\text{ km}$.
- Bán kính đáy $R=OA=\frac{AB}{2}=1010\text{ km}$.
- Chiều cao hình nón $h=SO=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=1010\sqrt{3}\text{ km}$.
Trải mặt nón ra mặt phẳng ta được hình quạt tròn tâm $S$ bán kính $l=2020\text{ km}$ với góc ở đỉnh:
$\alpha =\frac{R}{l}\cdot 360^{\circ }=\frac{1010}{2020}\cdot 360^{\circ }=180^{\circ }$.
Vì $IC\perp (SAB)$ và $C$ nằm trên mặt nón, chiếu lên góc trải của mặt nón ta có đường sinh $SC$ tạo với đường sinh $SA$ một góc $\phi =45^{\circ }$ trên hình quạt trải.
Khoảng cách $SC$ từ đỉnh $S$ đến $C$ bằng độ dài đường sinh $l_C=\frac{l}{\sqrt{2}}=1010\sqrt{2}$ hoặc tọa độ trên hình quạt với $SA=2020,SC=1010\sqrt{2}$ và góc $\widehat{ASC}=45^{\circ }$.
Áp dụng định lý hàm số cosin trên mặt phẳng trải:
$d^2=S{A}^2+S{C}^2-2SA\cdot SC\cdot \cos 45^{\circ }$
$=2020^2+(1010\sqrt{2}{)}^2-2\cdot 2020\cdot 1010\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$=1010^2\left(4+2-4\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\dots \right)$
Tính chính xác quãng đường ngắn nhất là đường nối thẳng trên mặt nón trải:
$d=1010\sqrt{5-2\sqrt{2}}\text{ km}$.