Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0;+\infty )$ và $f(x)\ne 0,\forall x>0$. Biết rằng $f^{\prime }(x)=(2x+1)f^2(x)$ và $f(1)=-\frac{1}{2}$. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),x=1,x=e^2$ bằng

Chọn A
'
f ' ( x) ( 1 )
Từ giả thiết: f ( x) = (2 x + 1) f ( x) $\iff$ - 2
' 2
= -2 x - 1 $\iff$ ( ) = -2 x - 1
f ( x) ( f ( x) )
1
f ( x) 
Do đó: = (-2 x - 1)dx = - x 2 - x + C

1 1
Mà f (1) = - nên C = 0 . Vậy f ( x) = 2 .
2 x +x
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x), x = 1, x = e 2 là
e2
1 2
S= d x = 2 + ln .
1
x +x 2
1 + e2