Cho hàm số $f(x)=x-\frac{1}{x}+2\log x$. Các điểm biểu diễn nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi ]$ của phương trình $f(\sin x+2)+f\left(\frac{1}{\cos 3x+2}\right)=0$ trên đường tròn lượng giác là các đỉnh của một đa giác. Tính diện tích đa giác đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét then chốt: $f(1/x)=\frac{1}{x}-x+2\log \frac{1}{x}=-f(x)$, và $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}>0$ với $x>0$ nên $f$ đồng biến trên $(0;+\infty )$. Do đó với $a,b>0$: $f(a)+f(b)=0\iff f(a)=f(1/b)\iff a=1/b$.

Điều kiện xác định: $\sin x+2\ge 1>0$ và $\cos 3x+2\ge 1>0$ nên cả hai luôn thoả mãn. Áp dụng với $a=\sin x+2$, $b=\frac{1}{\cos 3x+2}$, ta có $\frac{1}{b}=\cos 3x+2$, suy ra phương trình tương đương $\sin x+2=\cos 3x+2\iff \sin x=\cos 3x$. (Lưu ý: bước này là hợp lệ — điều kiện $a=1/b$ chính là $\sin x+2=\cos 3x+2$.)

Giải $\sin x=\cos 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$ trên $[0;2\pi ]$:
- TH1: $x=\frac{\pi }{2}-3x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$, cho $x\in \left\{\frac{\pi }{8};\frac{5\pi }{8};\frac{9\pi }{8};\frac{13\pi }{8}\right\}$.
- TH2: $x=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-3x\right)+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}-k\pi$, cho $x\in \left\{\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\right\}$.

Vậy 6 điểm trên đường tròn lượng giác (bán kính 1) theo thứ tự góc tăng dần: $\frac{\pi }{8},\frac{5\pi }{8},\frac{3\pi }{4},\frac{9\pi }{8},\frac{13\pi }{8},\frac{7\pi }{4}$, tức $22,5^{\circ };112,5^{\circ };135^{\circ };202,5^{\circ };292,5^{\circ };315^{\circ }$. Các cung giữa đỉnh liên tiếp: $90^{\circ },22,5^{\circ },67,5^{\circ },90^{\circ },22,5^{\circ },67,5^{\circ }$.

Diện tích đa giác nội tiếp đường tròn bán kính $R=1$:
$$S=\frac{1}{2}\sum \sin \Delta {\theta }_i=\frac{1}{2}\left(2\sin 90^{\circ }+2\sin 22,5^{\circ }+2\sin 67,5^{\circ }\right)=1+\sin 22,5^{\circ }+\sin 67,5^{\circ }\approx 1+0,38268+0,92388\approx 2,3066.$$

Vậy diện tích đa giác xấp xỉ $2,31$, khớp với đáp án đã cho.