Cho hàm số $f(x)=-x^3+3x^2$ có đồ thị $(C)$.

Đáp án: S Đ S S

a) $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=0</td></tr></tbody></table>$

Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:


Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Vậy a) sai

b) Dựa vào bảng xét dấu trên GTLN trên đoạn $[1;3]$ là $f(2)$. Vậy b) đúng

c) Hàm số bậc 3 có tâm đối xứng là điểm uốn.
Thỏa mãn $f^{\prime \prime }(x)=0\iff -6x+6=0\iff x=1\Rightarrow y=2\Rightarrow (1;2)$ là điểm đối xứng của hàm số

Vậy c) sai

d) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và $y=mx$ là:

$$-x^3+3x^2=mx\iff -x^3+3x^2-mx=0$$

$$\iff x\left(-x^2+3x-m\right)=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ -x^2+3x-m=0\end{array}$$

Vậy $x_1=0;x_2,x_3$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $-x^2+3x-m=0$

$$\Delta =9-4m>0\Rightarrow m<\frac{9}{4}$$

Theo vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_2+x_3=3\\ x_2{x}_3=m\end{array}$

Ta có: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=5\Rightarrow 0+{\left(x_2+x_3\right)}^2-2x_2{x}_3=5$

$$\iff 9-2m=5\iff m=2$$

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Vậy d) sai
a) $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=0</td></tr></tbody></table>$

Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:


Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Vậy a) sai
b) Dựa vào bảng xét dấu trên GTLN trên đoạn $[1;3]$ là $f(2)$. Vậy b) đúng
c) Hàm số bậc 3 có tâm đối xứng là điểm uốn.
Thỏa mãn $f^{\prime \prime }(x)=0\iff -6x+6=0\iff x=1\Rightarrow y=2\Rightarrow (1;2)$ là điểm đối xứng của hàm số

Vậy c) sai
d) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và $y=mx$ là:

$$-x^3+3x^2=mx\iff -x^3+3x^2-mx=0$$

$$\iff x\left(-x^2+3x-m\right)=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ -x^2+3x-m=0\end{array}$$

Vậy $x_1=0;x_2,x_3$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $-x^2+3x-m=0$

$$\Delta =9-4m>0\Rightarrow m<\frac{9}{4}$$

Theo vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_2+x_3=3\\ x_2{x}_3=m\end{array}$

Ta có: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=5\Rightarrow 0+{\left(x_2+x_3\right)}^2-2x_2{x}_3=5$

$$\iff 9-2m=5\iff m=2$$

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Vậy d) sai