Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+1$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2+1$.
a) Đúng: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) Đúng: Trên $[1;3]$, $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$ nên $f$ nghịch biến trên $[1;2]$ và đồng biến trên $[2;3]$. Ta có $f(1)=-1$, $f(2)=-3$, $f(3)=27-27+1=1$. Vậy GTLN trên $[1;3]$ bằng $1$ (tại $x=3$).
c) Sai: Trên $(1;3)$, $f^{\prime }(x)<0$ với $x\in (1;2)$ và $f^{\prime }(x)>0$ với $x\in (2;3)$, nên hàm số nghịch biến trên $(1;2)$ và đồng biến trên $(2;3)$, không đồng biến trên toàn $(1;3)$.
d) Đúng: $f(1+x)+f(1-x)=(1+x{)}^3-3(1+x{)}^2+1+(1-x{)}^3-3(1-x{)}^2+1=2-6+2=-2=2f(1)$, nên đồ thị nhận $I(1;-1)$ làm tâm đối xứng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;3]$: $f(1)=-1$, $f(2)=-3$ (cực tiểu), $f(3)=1$ nên GTLN bằng 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)$ đổi dấu tại $x=2$: hàm nghịch biến trên $(1;2)$, đồng biến trên $(2;3)$, nên không đồng biến trên $(1;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(1+x)+f(1-x)=-2=2f(1)$ nên $I(1;-1)$ là tâm đối xứng của đồ thị.