Cho hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx$, với $a$, $b$ là các số thực. Biết hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $(D)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và trục hoành. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$ là parabol hướng lên cắt trục hoành tại $x=0$ và $x=\frac{4}{3}$, nên $f^{\prime }(x)=3x\left(x-\frac{4}{3}\right)=3x^2-4x$ (tức $a=-2$, $b=0$). a) $f^{\prime }(0)=0$ đúng nhưng $f^{\prime }\left(\frac{4}{3}\right)=0$ (nghiệm của $f^{\prime }$), không $>0$ → sai. b) Đúng như trên. c) $S={\int }_0^{4/3}(4x-3x^2)dx={\left[2x^2-x^3\right]}_0^{4/3}=\frac{32}{9}-\frac{64}{27}=\frac{32}{27}$ (dvdt) → đúng. d) $V=\pi {\int }_0^{4/3}(3x^2-4x{)}^{2}dx=\pi {\left[\frac{9}{5}{x}^5-6x^4+\frac{16}{3}{x}^3\right]}_0^{4/3}=\pi \cdot \frac{3072-7680+5120}{405}=\frac{512\pi }{405}$ (dvtt) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(0)=0$ đúng nhưng $f^{\prime }\left(\frac{4}{3}\right)=0$ (nghiệm của $f^{\prime }$), không lớn hơn 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Parabol hướng lên với nghiệm $0$ và $\frac{4}{3}$ nên $f^{\prime }(x)=3x\left(x-\frac{4}{3}\right)=3x^2-4x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^{4/3}(4x-3x^2)dx=\frac{32}{27}$ (dvdt).
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^{4/3}(3x^2-4x{)}^{2}dx=\frac{512\pi }{405}$ (dvtt).