[VD] Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;5)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm tam giác $ABC$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là

(AI giải đề cho tôi)
Viết $(P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$. Vì $M$ là trực tâm nên $M$ thuộc đường cao từ $B$: $BM\perp AC$, vector $AC=(a;0;-c)$, $BM=(1;2-b;5)$ nên $a-5c=0\Rightarrow c=\frac{a}{5}$. Từ đường cao từ $C$: $CM\perp AB$, $AB=(-a;b;0)$, $CM=(1;2;5-c)$ nên $-a+2b=0\Rightarrow b=\frac{a}{2}$. Kiểm tra đường cao từ $A$: $AM=(1-a;2;5)$, $BC=(0;-b;c)$, tích $-2b+5c=-15+15=0$ ✓ (thỏa với $b=a/2,c=a/5$). Vì $M\in (P)$: $\frac{1}{a}+\frac{2}{a/2}+\frac{5}{a/5}=\frac{30}{a}=1\Rightarrow a=30,b=15,c=6$. Vậy $(P):\frac{x}{30}+\frac{y}{15}+\frac{z}{6}=1\iff x+2y+5z-30=0$. Kiểm tra: $M(1;2;5)$: $1+10+25-30=6\ne 0$? Tính lại: $1+2\cdot 2+5\cdot 5=1+4+25=30$ ✓.