[VD] Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{x^3-12x}\left(x^4-4x^2\right)$. Biết hàm số $F(x)$ đồng biến trên khoảng $(a;+\infty )$, giá trị nhỏ nhất của $a$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F^{\prime }(x)=f(x)=e^{x^3-12x}(x^4-4x^2)$. Vì $e^{x^3-12x}>0$ với mọi $x$ nên dấu của $F^{\prime }(x)$ trùng dấu của $x^4-4x^2=x^2(x-2)(x+2)$. Xét dấu: với $x>2$ thì $x^2>0$, $x-2>0$, $x+2>0$ nên $F^{\prime }(x)>0$; với $-2<x<2$ thì $x-2<0$ nên $F^{\prime }(x)\le 0$ (bằng $0$ tại $x=0$); với $x<-2$ thì $F^{\prime }(x)>0$. Vậy $F(x)$ đồng biến trên $(2;+\infty )$. Nếu $a<2$ thì trên khoảng $(a;2)$ (phần $-2<x<2$) hàm nghịch biến, nên $F$ không đồng biến trên $(a;+\infty )$. Do đó giá trị nhỏ nhất của $a$ là $2$.