Cho hàm số $y=f(x)=\frac{2x^2-5x+9}{x-5}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{9}{5}$.
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;9)$.
c) Có đúng một điểm trên đồ thị hàm số cách đều hai trục tọa độ.
d) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $y=5$.

a) Đúng. Với $x=0\Rightarrow f(0)=-\frac{9}{5}$. Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{9}{5}$.

b) Sai. Tập xác định của hàm số là $R\setminus \{5\}$ suy ra hàm số đã cho không xác định $\forall x\in (1;9)$ nên kết luận b sai. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2-20x+16}{(x-5{)}^2}$; $f^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=5+\sqrt{17}\\ x=5-\sqrt{17}\end{array}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(5-\sqrt{17};5\right)$ và $\left(5;5+\sqrt{17}\right)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;9)$ là Sai.



c) Sai. Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số (điều kiện $x_0\ne 5$). Vì điểm $M$ cách đều hai trục tọa độ nên $y_0=\pm x_0$. TH1: $y_0=x_0$ $\iff x_0^2+9=0$ (vô nghiệm). TH2: $y_0=-x_0$ $\iff 3x_0^2-10x_0+9=0$ (vô nghiệm). Vậy không có điểm nào trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ.

d) Sai. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=5$.
a) Đúng. Với $x=0\Rightarrow f(0)=-\frac{9}{5}$. Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{9}{5}$.
b) Sai. Tập xác định của hàm số là $R\setminus \{5\}$ suy ra hàm số đã cho không xác định $\forall x\in (1;9)$ nên kết luận b sai. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x^2-5x+9{)}^{\prime }(x-5)-(2x^2-5x+9)(x-5{)}^{\prime }}{(x-5{)}^2}=\frac{(4x-5)(x-5)-\left(2x^2-5x+9\right)}{(x-5{)}^2}=\frac{2x^2-20x+16}{(x-5{)}^2}$. $f^{\prime }(x)=0\iff 2x^2-20x+16=0\iff \{\begin{array}{l}x=5+\sqrt{17}\\ x=5-\sqrt{17}\end{array}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(5-\sqrt{17};5\right)$ và $\left(5;5+\sqrt{17}\right)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;9)$ là Sai.
c) Sai. Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số (điều kiện $x_0\ne 5$). Vì điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ nên $y_0=\pm x_0$. TH1: $y_0=x_0$ $\iff \frac{2x_0^2-5x_0+9}{x_0-5}=x_0\iff 2x_0^2-5x_0+9=x_0^2-5x_0\iff x_0^2+9=0$ (phương trình vô nghiệm). TH2: $y_0=-x_0$ $\iff \frac{2x_0^2-5x_0+9}{x_0-5}=-x_0\iff 2x_0^2-5x_0+9=-x_0^2+5x_0$ $\iff 3x_0^2-10x_0+9=0$ (phương trình vô nghiệm). Vậy không có điểm nào trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ.
d) Sai. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=5$.