Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, $SA=\frac{3a}{2}$, đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Tính số đo của góc nhị diện $[S,BC,A]$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới.



Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tổng số bao nhiêu đường tiệm cận đứng và ngang?

Hai khẩu pháo cao xạ cùng bắn độc lập với nhau vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của hai khẩu pháo cao xạ lần lượt là $\frac{1}{4}$ và $\frac{1}{3}$. Xác suất để mục tiêu bị trúng đạn là:

Phương trình $\sin x=-1$ có nghiệm là

Khảo sát thu nhập theo tháng của người lao động ở một công ty thu được mẫu số ghép nhóm như bảng sau:

Thu nhập (triệu đồng)	$[5;8)$	$[8;11)$	$[11;14)$	$[14;17)$	$[17;20)$
Số người	30	55	45	30	20

Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở công ty trên (đơn vị: triệu đồng)

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;0;1)$. Tìm tọa độ điểm $C$ thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=(3;3;0)$?

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 4. Lấy $H$, $K$ lần lượt trên các cạnh $AB$, $AD$ sao cho $BH=3HA$, $AK=3KD$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $H$ lấy điểm $S$ sao cho $\widehat{SBH}=30^{\circ }$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{16\sqrt{3}}{3}$.
b) Khoảng cách giữa $AB$ và $SD$ bằng $\frac{4\sqrt{57}}{19}$.
c) $SH=\sqrt{3}$.
d) Gọi $E$ là giao điểm của $CH$ và $BK$, cosin của góc giữa hai đường thẳng $SE$ và $BC$ bằng $\frac{m}{n\sqrt{39}}$ với $m\in \mathbb{Z};n\in {\mathbb{N}}^{\ast };\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $T=2m-n=31$.

Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt biển (được coi như là mặt phẳng) với tia $Ox$ hướng về phía nam, tia $Oy$ hướng về phía đông, tia $Oz$ hướng thẳng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại $O$ có phạm vi theo dõi $30km$. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí $A$ ở độ sâu $10km$ so với mặt nước biển, cách $O$ $25km$ về phía nam và $15km$ về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí $B(-20;15;0)$.

[Hình cần kiểm tra lại: p3_f1]

a) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra trên biển di chuyển đến vị trí $C$ cách $O$ $15km$ về phía nam. Để tàu cảnh sát biển trong phạm vi theo dõi của radar thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách $O$ tối đa $15\sqrt{3}km$.
b) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí $B$.
c) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng $3\sqrt{58}km$.
d) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí $A$.

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{2x^2-5x+9}{x-5}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{9}{5}$.
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;9)$.
c) Có đúng một điểm trên đồ thị hàm số cách đều hai trục tọa độ.
d) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $y=5$.

Cho phương trình $\cos \left(4x-\frac{3\pi }{8}\right)=-1$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) $x=\frac{11\pi }{32}$ là một nghiệm của phương trình đã cho.
b) Tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác.
c) Tổng nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình bằng $\frac{3\pi }{4}$.
d) Tổng các nghiệm trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{19\pi }{2}\right)$ của phương trình đã cho là $\frac{6061\pi }{32}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng 1 đơn vị, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ $AB$ đến $SC$ bằng $\frac{\sqrt{a}}{b}$ $(a,b\in {\mathbb{Z}}^{+})$; $(\frac{a}{b}$ là phân số tối giản$)$. Tính tổng $a+b$ ?

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm $(0<x\le 2500)$, tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $f(x)=2006x-x^2$ (đơn vị: nghìn đồng) và tổng chi phí là $g(x)=x^2+1438x-1209$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (nghìn đồng) $(0<t<320)$. Giá trị của $t$ bằng bao nhiêu nghìn đồng để nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó?

Trong năm đầu tiên đi làm, anh Huy được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh Huy lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12\% so với mỗi tháng năm trước. Kể từ năm thứ 2 mỗi khi lĩnh lương anh Huy đều cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi tính từ khi đi làm sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh Huy mua được ô tô giá 500 triệu biết rằng anh Huy được gia đình hỗ trợ 32\% giá trị chiếc xe?

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc 20 $(m)$ và về phía Tây 10 $(m)$, đồng thời cách mặt đất 0,7 $(m)$. Chiếc flycam thứ hai cách điểm xuất phát về phía Nam 30 $(m)$ và về phía Đông 25 $(m)$, đồng thời cách mặt đất 1 $(m)$. Trên mặt đất, người ta xác định một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Tính khoảng cách $(m)$ từ điểm xuất phát đến vị trí vừa xác định được (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một đa giác đều có 20 đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu đỏ. Gọi X là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên. Người ta chọn ngẫu nhiên từ X một tam giác. Xác suất để chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu là $\frac{a}{b}$ $(a\in \mathbb{N},b\in {\mathbb{N}}^{\ast };\frac{a}{b}$ là phân số tối giản$)$. Khi đó $a+b$ bằng

Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm $O$ có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm $M$ cách $O$ một khoảng $R$ được tính bởi công thức $L_M=\log \frac{k}{R^2}$ (Ben) với $k$ là hằng số. Biết điểm $O$ thuộc đoạn thẳng $AB$ và mức cường độ âm tại $A$ và $B$ lần lượt là $L_A=5$ (Ben) và $L_B=7$ (Ben). Tính mức cường độ âm (Ben) tại trung điểm $AB$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).