Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc 20 $(m)$ và về phía Tây 10 $(m)$, đồng thời cách mặt đất 0,7 $(m)$. Chiếc flycam thứ hai cách điểm xuất phát về phía Nam 30 $(m)$ và về phía Đông 25 $(m)$, đồng thời cách mặt đất 1 $(m)$. Trên mặt đất, người ta xác định một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Tính khoảng cách $(m)$ từ điểm xuất phát đến vị trí vừa xác định được (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp số: 4,45

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $1(m)$. $O(0;0;0)$ là điểm xuất phát. Trục $Ox$: hướng Bắc. Trục $Oy$: hướng Tây. Trục $Oz$ hướng lên trên. Mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$. Theo giả thiết, sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất có tọa độ là $A(20;10;0,7)$, chiếc flycam thứ hai có tọa độ là $B(-30;-25;1)$. Gọi $A^{\prime }$ là điểm đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(Oxy)$. Ta có $A^{\prime }(20;10;-0,7)$. Gọi $C$ là điểm trên mặt đất thì $C(x;y;0)$. Khi đó, ta có: $CA+CB=C{A}^{\prime }+CB\ge A^{\prime }B$. Dấu bằng xảy ra khi $A^{\prime }$, $C$, $B$ thẳng hàng. Mặt khác $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(x-20;y-10;0,7)$; $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(-50;-35;1,7)$. Điều kiện để 3 điểm $A^{\prime }$, $C$, $B$ thẳng hàng là tồn tại $k\in \mathbb{R}$ sao cho: $\overrightarrow{A^{\prime }C}=k\overrightarrow{A^{\prime }B}$ $$\iff \{\begin{array}{l}x-20=-50k\\ y-10=-35k\\ 0,7=1,7k\end{array}\iff \{\begin{array}{l}k=\frac{7}{17}\\ x=-\frac{10}{17}\\ y=-\frac{75}{17}\end{array}\iff C\left(-\frac{10}{17};-\frac{75}{17};0\right).$$ Vậy $C\left(-\frac{10}{17};-\frac{75}{17};0\right)$ là vị trí trên mặt đất có tổng khoảng cách từ đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Khi đó khoảng cách từ điểm xuất phát $O$ đến $C$ là $OC=\sqrt{{\left(-\frac{10}{17}\right)}^2+{\left(-\frac{75}{17}\right)}^2+0^2}\approx 4,45(m)$.