Một đa giác đều có 20 đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu đỏ. Gọi X là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên. Người ta chọn ngẫu nhiên từ X một tam giác. Xác suất để chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu là $\frac{a}{b}$ $(a\in \mathbb{N},b\in {\mathbb{N}}^{\ast };\frac{a}{b}$ là phân số tối giản$)$. Khi đó $a+b$ bằng

Đáp số: 97

$n(X)=C_{20}^3=1140$. Dễ thấy không thể có tam giác nào có 3 cạnh đều là cạnh của đa giác đều ban đầu. Gọi $A_k$ là biến cố “tam giác được chọn có $k$ cạnh màu xanh”. TH1: tam giác có 2 cạnh màu xanh. Để được tam giác như thế thì 2 cạnh màu xanh là 2 cạnh của đa giác, khi đó ta cần chọn 3 đỉnh liên tiếp của đa giác. Do đó $n(A_2)=20$. TH2: tam giác có 1 cạnh màu xanh. Để được tam giác như thế thì ta cần chọn 2 đỉnh liên tiếp của đa giác, đỉnh còn lại của tam giác không kề với 2 đỉnh kia. Chọn 2 đỉnh liên tiếp, có 20 cách chọn. Chọn đỉnh còn lại, bỏ 2 đỉnh đã chọn và 2 đỉnh kề với 2 đỉnh đó, có 16 cách chọn. Do đó $n(A_1)=20\cdot 16=320$. Suy ra $n(A_0)=1140-20-320=800$. Xác suất cần tìm là $P(A_0)=\frac{800}{1140}=\frac{40}{57}$ hay $a=40$, $b=57$. Vậy $a+b=40+57=97$.