Cho phương trình $\cos \left(4x-\frac{3\pi }{8}\right)=-1$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) $x=\frac{11\pi }{32}$ là một nghiệm của phương trình đã cho.
b) Tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác.
c) Tổng nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình bằng $\frac{3\pi }{4}$.
d) Tổng các nghiệm trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{19\pi }{2}\right)$ của phương trình đã cho là $\frac{6061\pi }{32}$.

a) Đúng. Thay $x=\frac{11\pi }{32}$ vào phương trình, ta được: $\cos \left(4\cdot \frac{11\pi }{32}-\frac{3\pi }{8}\right)=\cos \left(\pi \right)=-1$. Vậy $x=\frac{11\pi }{32}$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

b) Đúng. Ta có: $\cos \left(4x-\frac{3\pi }{8}\right)=-1\iff x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$. Áp dụng công thức nghiệm: $x=\alpha +\frac{k2\pi }{n}$, ta có $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k2\pi }{4}$. Suy ra $n=4$. Vậy tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác.

c) Sai. Nghiệm dương nhỏ nhất ứng với $k=0$ là $\frac{11\pi }{32}$; nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$ là $-\frac{5\pi }{32}$. Tổng bằng $\frac{11\pi }{32}-\frac{5\pi }{32}=\frac{3\pi }{16}$.

d) Sai. $k\in \{0;1;2;...;17;18\}$. Thay các giá trị của $k$ vào $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}$ ta được tập hợp các nghiệm trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{19\pi }{2}\right)$. Cách 1: Bấm máy $\sum _{k=0}^{18}\left(\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}\right)=\frac{2945\pi }{32}$. Cách 2: Coi mỗi nghiệm là 1 số hạng trong cấp số cộng với $x_1=\frac{11\pi }{32}$, công sai $d=\frac{\pi }{2}$, số số hạng $n=19$. Tổng các nghiệm là: $S=\frac{\left(x_1+x_{19}\right).n}{2}=\frac{\left(\frac{11\pi }{32}+\frac{11\pi }{32}+\frac{18\pi }{2}\right).19}{2}=\frac{2945\pi }{32}$.
a) Đúng. Thay $x=\frac{11\pi }{32}$ vào phương trình, ta được: $\cos \left(4\cdot \frac{11\pi }{32}-\frac{3\pi }{8}\right)=\cos \left(\pi \right)=-1$. Vậy $x=\frac{11\pi }{32}$ là một nghiệm của phương trình đã cho.
b) Đúng. Ta có: $\cos \left(4x-\frac{3\pi }{8}\right)=-1\iff 4x-\frac{3\pi }{8}=\pi +k2\pi \iff 4x=\frac{11\pi }{8}+k2\pi \iff x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$. Áp dụng công thức nghiệm: $x=\alpha +\frac{k2\pi }{n}$ với $n$ là số điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác, ta có: $\iff x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}=\frac{11\pi }{32}+\frac{k2\pi }{4}$. Suy ra $n=4$. Vậy tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác.
c) Sai. Xét $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}>0\iff k>-\frac{11}{16}$ mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ nghiệm dương nhỏ nhất ứng với $k=0$: $\frac{11\pi }{32}$. Xét $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}<0\iff k<-\frac{11}{16}$ mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$: $-\frac{5\pi }{32}$. Tổng bằng $\frac{11\pi }{32}-\frac{5\pi }{32}=\frac{3\pi }{16}$.
d) Sai. Do $x\in \left(\frac{\pi }{4};\frac{19\pi }{2}\right)\iff \frac{\pi }{4}<\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}<\frac{19\pi }{2}\iff -\frac{3}{16}<k<\frac{293}{16},k\in \mathbb{Z}\iff k\in \{0;1;2;...;17;18\}$. Thay các giá trị của $k$ vào $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}$ ta được tập hợp các nghiệm trên khoảng đó. Cách 1: Bấm máy $\sum _{k=0}^{18}\left(\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}\right)=\frac{2945\pi }{32}$. Cách 2: Coi mỗi nghiệm là 1 số hạng trong cấp số cộng với $x_1=\frac{11\pi }{32}$, công sai $d=\frac{\pi }{2}$, số số hạng $n=19$. Tổng các nghiệm là: $S=\frac{\left(x_1+x_{19}\right).n}{2}=\frac{\left(\frac{11\pi }{32}+\frac{11\pi }{32}+\frac{18\pi }{2}\right).19}{2}=\frac{2945\pi }{32}$.