Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng 1 đơn vị, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ $AB$ đến $SC$ bằng $\frac{\sqrt{a}}{b}$ $(a,b\in {\mathbb{Z}}^{+})$; $(\frac{a}{b}$ là phân số tối giản$)$. Tính tổng $a+b$ ?

Đáp số: 7



Vì $\widehat{BAD}=60^{\circ }$ nên $\Delta ABC$ là tam giác đều cạnh bằng 1. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. $\Delta ABD$ là tam giác đều nên $DI\perp AB$. Vì tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên $SI\perp (ABCD)$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $I$ đến $SD$. $\{\begin{array}{l}AB\perp SI\\ AB\perp DI\end{array}\Rightarrow AB\perp (SDI)\Rightarrow AB\perp IH$ mà $AB\parallel CD$ do đó $IH\perp CD$. Lại có $IH\perp SD$ suy ra $IH\perp (SCD)$. Ta có: $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$. Khi đó: $d\left(AB,SC\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)=d\left(I,\left(SCD\right)\right)=IH$. $$ID=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ vaˋ }SI=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\text{ suy ra }IH=\sqrt{\frac{S{I}^2.I{D}^2}{S{I}^2+I{D}^2}}=\sqrt{\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2.{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$$ Vậy $a=3$ và $b=4$ suy ra $a+b=7$.