Cho hàm số $y=f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}$, $(a.m\ne 0)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x-1$ (đi qua $(0;-1)$, hệ số góc $1$), nhánh phải có điểm cực tiểu $(2;2)$. Vậy $f(x)=x-1+\frac{k}{x-1}$ với $1+k=2\Rightarrow k=1$, tức $f(x)=x-1+\frac{1}{x-1}$.
Ta có $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}$; $f^{\prime }(x)=0\iff (x-1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=2$. Hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$.

a) SAI: bảng xét dấu trong đề cho $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1$ (nơi hàm không xác định) là sai; thực tế $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=0$ và $x=2$.

b) SAI: trên khoảng $(0;1)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến, do đó không đồng biến trên toàn khoảng $(-\infty ;1)$.

c) ĐÚNG: $f(x)=3\iff x-1+\frac{1}{x-1}=3\iff (x-1{)}^2-3(x-1)+1=0$. Với $t=x-1$: $t^2-3t+1=0$ có $\Delta =9-4=5>0$, hai nghiệm phân biệt $t=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$, tức hai nghiệm phân biệt $x=1+\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ (đều khác $1$).

d) ĐÚNG: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (nhánh trái tiến tới $-\infty$, nhánh phải tiến tới $+\infty$ khi $x\to 1$).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x-1+\frac{1}{x-1}$ nên $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}$; $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=2$, không phải tại $x=1$ (hàm không xác định tại $x=1$). Hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$, nên bảng xét dấu đã cho là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ khi $(x-1{)}^2>1$, tức $x<0$ hoặc $x>2$. Trên khoảng $(0;1)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến, do đó khẳng định đồng biến trên toàn khoảng $(-\infty ;1)$ là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=3\iff x-1+\frac{1}{x-1}=3\iff (x-1{)}^2-3(x-1)+1=0$. Với $t=x-1$: $t^2-3t+1=0$ có $\Delta =9-4=5>0$, hai nghiệm phân biệt $t=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$, tức hai nghiệm phân biệt $x=1+\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ (đều khác $1$). Vậy phương trình $f(x)=3$ có hai nghiệm phân biệt, khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (nhánh trái tiến tới $-\infty$ và nhánh phải tiến tới $+\infty$ khi $x\to 1$), khẳng định đúng.