Cho hàm số $y=f(x)$. Biết bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$ như sau.

$x$	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
$f^{\prime }(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-1]$, nghịch biến trên $[-1;2]$, đồng biến trên $[2;+\infty )$; $f(-1)$ là cực đại địa phương, $f(2)$ là cực tiểu địa phương.

a) Trên đoạn $[-1;2]$, hàm số nghịch biến nên $ma{x}_{[-1;2]}f=f(-1)$. Đúng.

b) Trên đoạn $[-1;3]$: hàm nghịch biến trên $[-1;2]$ nên $f(2)<f(-1)$, đồng biến trên $[2;3]$ nên $f(3)>f(2)$. Do đó giá trị nhỏ nhất trên $[-1;3]$ là $f(2)$, không phải $f(3)$. Sai.

c) Với $h(x)=f(2x)$ trên $[-1;1]$ thì $$\begin{gathered} t=2x \\ in[-2;2] \end{gathered}$$. Trên $[-2;-1]$ hàm $f$ đồng biến, trên $[-1;2]$ nghịch biến, nên giá trị lớn nhất của $f(t)$ trên $[-2;2]$ đạt tại $t=-1$, tức tại $$\begin{gathered} x=- \\ frac12 \end{gathered}$$, và giá trị lớn nhất bằng $f(-1)$. Đúng.

d) Đặt $t=x^2-2x$, với $$\begin{gathered} x \\ in[0;2] \end{gathered}$$ thì $$\begin{gathered} t \\ in[-1;0] \end{gathered}$$ và $-3x^2+6x-5=-3(x^2-2x)-5=-3t-5$. Khi đó $$\begin{gathered} g=f(t)-3t-5= \\ varphi(t) \end{gathered}$$ với $varph{i}^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)-3$. Trên $[-1;0]$ (nằm trong $(-1;2)$) ta có $f^{\prime }(t)<0$ nên $varph{i}^{\prime }(t)<-3<0$: hàm $varphi$ nghịch biến trên $[-1;0]$. Giá trị lớn nhất đạt tại $t=-1$ (tức $x=0$ hoặc $x=2$) và bằng $varphi(-1)=f(-1)+3-5=f(-1)-2$, không phải $f(0)-2$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-1;2]$ hàm số nghịch biến (vì $f^{\prime }(x)<0$ với $$\begin{gathered} x \\ in(-1;2) \end{gathered}$$) nên giá trị lớn nhất là $f(-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;3]$: $f$ nghịch biến trên $[-1;2]$ nên $f(2)<f(-1)$, đồng biến trên $[2;3]$ nên $f(3)>f(2)$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $f(2)$, không phải $f(3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $$\begin{gathered} x \\ in[-1;1] \end{gathered}$$ thì $$\begin{gathered} 2x \\ in[-2;2] \end{gathered}$$. $f$ đồng biến trên $[-2;-1]$ và nghịch biến trên $[-1;2]$ nên max của $f(2x)$ đạt tại $$\begin{gathered} x=- \\ frac12 \end{gathered}$$ với giá trị $f(-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $$\begin{gathered} t=x^2-2x \\ in[-1;0] \end{gathered}$$, khi đó $g=f(t)-3t-5$. Hàm $varphi(t)=f(t)-3t-5$ có $varph{i}^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)-3<0$ trên $[-1;0]$ (vì $f^{\prime }(t)<0$ trên $(-1;2)$), nên nghịch biến; giá trị lớn nhất bằng $varphi(-1)=f(-1)-2$, không phải $f(0)-2$.