Cho hàm số $y=\left|x^4-2x^2+3m\right|$ với $m$ là tham số. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $g(x)=x^4-2x^2+3m$, với $t=x^2$: $g=h(t)=t^2-2t+3m=(t-1{)}^2+3m-1$.

a) Với $m=1$, trên $[0;2]$ có $t\in [0;4]$, $h(t)=(t-1{)}^2+2\ge 2>0$, nên $y=|g|=g$ và $\min y=2$ tại $t=1$ ($x=1$). Đúng.

b) Với $m=1$: $h(4)=16-8+3=11$ là giá trị lớn nhất của $g$ (và $g\ge 2>0$), nên ${\max }_{[0;2]}y=11\ne 4$. Sai.

c) Trên $[-1;1]$: $t\in [0;1]$, $h$ giảm nên $g\in [3m-1;3m]$. Giá trị lớn nhất của $|g|$ là $\max (|3m-1|,|3m|)=9$. Với $|3m|=9$: $m=3$ (thỏa, vì $|8|\le 9$) hoặc $m=-3$ (loại vì $|-10|=10>9$). Với $|3m-1|=9$: $m=10/3$ (loại vì $|10|>9$) hoặc $m=-8/3$ (thỏa, vì $|-8|\le 9$). Vậy có đúng hai giá trị $m=3$ và $m=-\frac{8}{3}$. Đúng.

d) Trên $[-1;2]$: $t\in [0;4]$, $g$ có min $=3m-1$ (tại $t=1$), max $=3m+8$ (tại $t=4$), $g(0)=3m$.
- Nếu $m\ge \frac{1}{3}$: $g\ge 0$, $\min |g|=3m-1=2024\Rightarrow m=675$ (thỏa).
- Nếu $m\le -\frac{8}{3}$: $g\le 0$, $\min |g|=-(3m+8)=2024\Rightarrow m=-\frac{2032}{3}$ (thỏa).
- Nếu $-\frac{8}{3}<m<\frac{1}{3}$: $g$ đổi dấu nên $\min |g|=0\ne 2024$.
Vậy có đúng hai giá trị $m_1=675$, $m_2=-\frac{2032}{3}$; $|m_1-m_2|=675+\frac{2032}{3}=\frac{4057}{3}$, suy ra $3|m_1-m_2|=4057$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$, $y=x^4-2x^2+3=(x^2-1{)}^2+2\ge 2$ trên $[0;2]$, min bằng 2 tại $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$, $g=x^4-2x^2+3\in [2;11]$ trên $[0;2]$ (max tại $x=2$ bằng 11), nên $\max y=11\ne 4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;1]$, $g\in [3m-1;3m]$; giải $\max (|3m-1|,|3m|)=9$ được $m=3$ hoặc $m=-\frac{8}{3}$: đúng hai giá trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;2]$: với $m\ge \frac{1}{3}$, $\min |g|=3m-1=2024\Rightarrow m=675$; với $m\le -\frac{8}{3}$, $\min |g|=-(3m+8)=2024\Rightarrow m=-\frac{2032}{3}$; giữa hai khoảng này min bằng 0. Vậy $3|m_1-m_2|=3\left(675+\frac{2032}{3}\right)=4057$.