Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $f(1)=e$ và $(x+2)f(x)=x{f}^{\prime }(x)-x^3,\forall x\in \mathbb{R}$. Tính $f(2)$.

Biến đổi phương trình vi phân: $x{f}^{\prime }(x)-(x+2)f(x)=x^3$. Với $x\ne 0$, chia cả hai vế cho $x^3$: $\frac{x{f}^{\prime }(x)-(x+2)f(x)}{x^3}=1\iff \frac{x{f}^{\prime }(x)-2f(x)}{x^3}-\frac{f(x)}{x^2}=1$. Nhân hai vế với thừa số tích phân $e^{-x}$: $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)e^{-x}}{x^2}\right)=e^{-x}$. Lấy nguyên hàm hai vế: $\frac{f(x)e^{-x}}{x^2}=-e^{-x}+C\Rightarrow f(x)=x^2(C{e}^x-1)$. Với $f(1)=e\Rightarrow 1^2(Ce-1)=e\Rightarrow Ce-1=e\Rightarrow C=1+\frac{1}{e}$. Khi đó tại $x=2$: $f(2)=2^2(C{e}^2-1)=4\left(\left(1+\frac{1}{e}\right)e^2-1\right)=4(e^2+e-1)=4e^2+4e-4$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 34), chọn A.