Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(3{\log }_{3}x)=m-1$ có nghiệm duy nhất trên $\left[\frac{1}{\sqrt[3]{3}};3\right)$?

Đặt $u=3{\log }_{3}x$ với $x\in \left[\frac{1}{\sqrt[3]{3}};3\right)\Rightarrow u\in [-1;3)$.
Do hàm số $u=3{\log }_{3}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ nên mỗi giá trị $u\in [-1;3)$ tương ứng với duy nhất một nghiệm $x\in \left[\frac{1}{\sqrt[3]{3}};3\right)$.
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình $f(u)=m-1$ có nghiệm duy nhất trên $[-1;3)$.
Từ đồ thị hàm số suy ra: $\left[\begin{array}{c}m-1=1\\ 4<m-1<5\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}m=2\\ 5<m<6\end{array}\right]$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=2$. Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số $m$.