Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(-x)+2021f(x)=x\sin x,\forall x\in \mathbb{R}$. Giá trị của tích phân $I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx$ bằng

Chọn C.
Từ giả thiết: $f(-x)+2021f(x)=x\sin x,\forall x\in \mathbb{R}$.
Lấy tích phân hai vế từ $-\frac{\pi }{2}$ đến $\frac{\pi }{2}$:
$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(-x)dx+2021{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx.$$
Đổi biến $t=-x$ ta có ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(-x)dx={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx=I$.
Do đó vế trái bằng $I+2021I=2022I$.
Tính tích phân vế phải: đặt $u=x,dv=\sin xdx\Rightarrow du=dx,v=-\cos x$:
$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx=-x\cos x{|}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx=0+\sin x{|}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=2.$$
Suy ra $2022I=2\iff I=\frac{1}{1011}$.