Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+x+2}{x-1}$. Xét tính đúng – sai trong các phát biểu sau?

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm số xác định khi x−1≠0, nên tập xác định là ℝ\{1}: Đúng. b) f(x)=x+2+4/(x−1), tâm đối xứng của đồ thị là I(1;3) chứ không phải (1;2): Sai. c) f'(x)=(x²−2x−3)/(x−1)²=0 cho x=−1 (f(−1)=−2) và x=3 (f(3)=7); hai điểm cực trị nằm khác phía với trục hoành: Sai. d) M(0;−2), f'(0)=(0−0−3)/(0−1)²=−3, tiếp tuyến y=−3x−2: Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi x−1≠0, tức x≠1, nên tập xác định là ℝ\{1}.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=(x²+x+2)/(x−1)=x+2+4/(x−1). Đồ thị có tiệm cận đứng x=1, tiệm cận xiên y=x+2, tâm đối xứng là giao hai tiệm cận I(1;3), không phải I(1;2).
c) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=((2x+1)(x−1)−(x²+x+2))/(x−1)²=(x²−2x−3)/(x−1)². f'(x)=0 ⟹ x=−1 hoặc x=3. f(−1)=(1−1+2)/(−2)=−2<0 và f(3)=(9+3+2)/2=7>0, nên hai điểm cực trị (−1;−2) và (3;7) nằm khác phía với trục hoành.
d) (AI giải đề cho tôi)
M là giao với trục tung: f(0)=2/(−1)=−2, nên M(0;−2). f'(0)=(0−0−3)/(0−1)²=−3. Tiếp tuyến: y=−3(x−0)−2=−3x−2.