Một hồ nước hình bán nguyệt có đường kính . Một người chèo thuyền theo một đường thẳng với vận tốc từ vị trí đến vị trí bất kỳ trên cung . Tại vị trí người đó nghỉ 2 phút rồi tiếp tục chạy bộ dọc theo cung nhỏ đến , sau đó chạy theo đường thẳng để quay về với vận tốc (tham khảo hình vẽ). Hỏi thời gian chậm nhất mà người đó về đến là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Một hồ nước hình bán nguyệt có đường kính . Một người chèo thuyền theo một đường thẳng với vận tốc từ vị trí đến vị trí bất kỳ trên cung . Tại vị trí người đó nghỉ 2 phút rồi tiếp tục chạy bộ dọc theo cung nhỏ đến , sau đó chạy theo đường thẳng để quay về với vận tốc (tham khảo hình vẽ). Hỏi thời gian chậm nhất mà người đó về đến là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Đáp án chính thức: 6,9
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là tâm, R=75m. Gọi 2t là góc lượng giác AOC (0≤t≤π/2) thì dây AC=2R·sin t=150 sin t, cung nhỏ CB=R(π−2t)=75(π−2t), đoạn BA=150m.
Thời gian (phút):
- Thuyền A→C: (0,15 sin t)/3·60 = 3 sin t.
- Nghỉ: 2 phút.
- Chạy cung CB: (0,075(π−2t))/6·60 = 0,75(π−2t).
- Chạy B→A: 0,15/6·60 = 1,5.
Tổng: T(t)=3 sin t + 0,75π − 1,5t + 3,5.
T'(t)=3cos t − 1,5=0 ⇔ cos t=1/2 ⇔ t=π/3; T”(t)=−3 sin t<0 nên T lớn nhất (chậm nhất) tại t=π/3:
T=3·(√3/2)+0,75(π−2π/3)+3,5 ≈ 2,598+0,785+3,5 ≈ 6,883 ≈ 6,9 phút.
So sánh hai đầu: T(0)≈5,86; T(π/2)=6,5 đều nhỏ hơn. Khớp đáp án nguồn 6,9.
Gọi O là tâm, R=75m. Gọi 2t là góc lượng giác AOC (0≤t≤π/2) thì dây AC=2R·sin t=150 sin t, cung nhỏ CB=R(π−2t)=75(π−2t), đoạn BA=150m.
Thời gian (phút):
- Thuyền A→C: (0,15 sin t)/3·60 = 3 sin t.
- Nghỉ: 2 phút.
- Chạy cung CB: (0,075(π−2t))/6·60 = 0,75(π−2t).
- Chạy B→A: 0,15/6·60 = 1,5.
Tổng: T(t)=3 sin t + 0,75π − 1,5t + 3,5.
T'(t)=3cos t − 1,5=0 ⇔ cos t=1/2 ⇔ t=π/3; T”(t)=−3 sin t<0 nên T lớn nhất (chậm nhất) tại t=π/3:
T=3·(√3/2)+0,75(π−2π/3)+3,5 ≈ 2,598+0,785+3,5 ≈ 6,883 ≈ 6,9 phút.
So sánh hai đầu: T(0)≈5,86; T(π/2)=6,5 đều nhỏ hơn. Khớp đáp án nguồn 6,9.