Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $OAFME.CBGNH$ với $OAFE$ là hình chữ nhật, $P$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $OE$ sao cho $OP=\frac{1}{5}OE$ và $Q$ là trung điểm của $NG$. Người ta mô hình hoá bằng cách chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ là điểm $O$ và các trục tọa độ tương ứng như hình vẽ dưới đây (đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1m$). Biết $A(6;0;0)$, $C(0;20;0)$, $E(0;0;5)$, $M(3;0;8)$. Xét tính đúng – sai trong các phát biểu sau?

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: $O(0;0;0)$, $A(6;0;0)$, $C(0;20;0)$, $E(0;0;5)$, $M(3;0;8)$. Lăng trụ đứng nên mặt trên $CBGNH$ tương ứng $C\leftrightarrow O$, $B\leftrightarrow A$, $G\leftrightarrow F$, $N\leftrightarrow M$, $H\leftrightarrow E$, suy ra $B(6;20;0)$, $F(6;0;5)$, $G(6;20;5)$, $N(3;20;8)$, $H(0;0;8)$.
a) $OP=\frac{1}{5}OE=1$ nên $P(0;0;1)$, $\overrightarrow{AP}=(-6;0;1)$. Đúng.
b) $\overrightarrow{EM}=(3;0;3)$, $\overrightarrow{GN}=(-3;0;3)$, tích vô hướng $=-9+0+9=0$ nên vuông góc. Đúng.
c) Mặt $(EFG)$ là $z=5$ có VTPT ${\vec{n}}_1=(0;0;1)$. Mặt $(MFG)$: $\overrightarrow{FG}=(0;20;0)$, $\overrightarrow{FM}=(-3;0;3)$ nên ${\vec{n}}_2=\overrightarrow{FG}\times \overrightarrow{FM}=(60;0;60)\parallel (1;0;1)$. $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \phi =45^0\ne 30^0$. Sai.
d) $Q$ trung điểm $NG$: $Q(4,5;20;6,5)$. Độ dài dây theo thiết kế: $PE=4$, $EH=8$, $HQ=\sqrt{4,5^2+20^2+(-1,5{)}^2}=\sqrt{422,5}\approx 20,55$, tổng $\approx 32,55\ne 27+\sqrt{3}\approx 28,73$ (m). Sai.
Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) S, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(0;0;1)$ nên $\overrightarrow{AP}=(-6;0;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{EM}=(3;0;3)$, $\overrightarrow{GN}=(-3;0;3)$, tích vô hướng bằng 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện giữa $(MFG)$ và $(EFG)$ có $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}$, tức $\phi =45^0\ne 30^0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$PE+EH+HQ=4+8+\sqrt{422,5}\approx 32,55m\ne 27+\sqrt{3}m$.