Cho hàm số $y=f(x)=x^3-3x^2-9x+7$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2-9x+7$, có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$.

a) Trên đoạn $[-2;0]$: $f(-2)=5$, $f(-1)=12$ (điểm cực đại vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ + thành − tại $x=-1$), $f(0)=7$. Vậy $maxf=12$ tại $x=-1$. Mệnh đề đúng.

b) Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[-2;0]$ là $f(-2)=5$. Khi đó min của $f(x)+m$ là $$\begin{gathered} 5+m=10 \\ Rightarrowm=5 \end{gathered}$$, không phải $m=3$. Mệnh đề sai.

c) Đặt $$\begin{gathered} t=2x^2+1 \\ ge1 \end{gathered}$$. Xét $g(t)=f(t)$ trên $$\begin{gathered} [1;+ \\ infty) \end{gathered}$$: $g^{\prime }(t)=3(t-3)(t+1)$, hàm giảm trên $[1;3]$ và tăng trên $$\begin{gathered} [3;+ \\ infty) \end{gathered}$$. Với $$\begin{gathered} t \\ ge1 \end{gathered}$$: $g(1)=-4$, $g(3)=27-27-27+7=-20$. Vậy min $f(2x^2+1)=-20$ (khi $t=3$, tức $$\begin{gathered} x= \\ pm1 \end{gathered}$$), suy ra min của $f(2x^2+1)-5=-25$. Mệnh đề đúng.

d) Trên $[0;4]$: $f(0)=7$, $f(3)=-20$ (cực tiểu), $f(4)=-13$. Vậy $f$ nhận mọi giá trị trong đoạn $[-20;7]$. Để $min|f(x)+m|=17$ thì khoảng cách từ $-m$ đến đoạn $[-20;7]$ bằng 17, tức $-m=7+17=24$ hoặc $-m=-20-17=-37$, cho $m=-24$ hoặc $m=37$. Tích hai giá trị là $$\begin{gathered} (-24)(37)=-888 \\ ne-30 \end{gathered}$$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [-2;0]: f(-2)=5, f(-1)=12 (cực đại), f(0)=7 nên max f = 12. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Min của f trên [-2;0] là f(-2)=5, nên 5+m=10 ⇒ m=5, không phải m=3. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với t=2x²+1≥1, min f(t) trên [1;+∞) là f(3)=-20, nên min của f(2x²+1)-5 = -25. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;4], f có giá trị trong đoạn [-20;7]. Min |f+m|=17 ⇒ -m cách đoạn [-20;7] một khoảng 17 ⇒ m=-24 hoặc m=37, tích bằng -888 ≠ -30. Sai.