Cho hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=(x+1)+\frac{1}{x+1}$, xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) Vì bậc tử bằng bậc mẫu + 1 và mẫu triệt tiêu tại $x=-1$, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$. → Đúng.

b) Đặt $t=\cos x+1\in (0;2]$, khi đó $y=\frac{(\cos x+1{)}^2+1}{\cos x+1}=t+\frac{1}{t}$. Khi $t\to 0^{+}$ (tức $\cos x\to -1^{+}$) thì $y\to +\infty$, nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên tập xác định này. Do đó khẳng định GTLN bằng $\frac{5}{2}$ là Sai. (Lưu ý $\frac{5}{2}$ chỉ là giá trị tại $t=2$, tức $\cos x=1$, nhưng đó không phải GTLN.) → Sai.

c) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=-2$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu với $y(0)=\frac{2}{1}=2$. Vậy $(0;2)$ là điểm cực tiểu của đồ thị. → Đúng.

d) $y^{\prime }>0\iff x(x+2)>0\iff x<-2$ hoặc $x>0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$. → Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng, khớp với đáp án chính thức DSDD (mã đề 312, trang 10).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$ vì $y=(x+1)+\frac{1}{x+1}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=\cos x+1\in (0;2]$, $y=t+\frac{1}{t}\to +\infty$ khi $t\to 0^{+}$, nên hàm số không có GTLN; khẳng định GTLN $=\frac{5}{2}$ là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$, $y(0)=2$, nên $(0;2)$ là điểm cực tiểu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }>0\iff x(x+2)>0\iff x\in (-\infty ;-2)\cup (0;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên hai khoảng đó.