Cho hàm số $y=-x^3+2x^2-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=-x^3+2x^2-3$.

a) $y^{\prime }=-3x^2+4x$. Khẳng định đúng.

b) $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{4}{3}$. Với $x\in \left(0;\frac{4}{3}\right)$ thì $y^{\prime }=-3x\left(x-\frac{4}{3}\right)>0$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Khẳng định đúng.

c) $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ (với $y(0)=-3$). Khẳng định đúng.

d) Trên nửa khoảng $[0;+\infty )$: hàm số đồng biến trên $\left(0;\frac{4}{3}\right)$, nghịch biến trên $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$ và ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$, nên hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên $[0;+\infty )$. Khẳng định GTNN bằng $-3$ là sai.

Kết quả Đ-Đ-Đ-S khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 13: ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $y^{\prime }=-3x^2+4x$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x\left(x-\frac{4}{3}\right)>0$ trên $\left(0;\frac{4}{3}\right)$ nên hàm số đồng biến, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$, hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên $[0;+\infty )$, nên khẳng định sai.