Trong không gian $Oxyz$, các vectơ $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục $Ox,Oy,Oz$, cho điểm $A(3;4;-2)$, vectơ $\vec{a}=-3\vec{i}-4\vec{j}+14\vec{k}$. Gọi $B$ là điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\vec{a}=-3\vec{i}-4\vec{j}+14\vec{k}=(-3;-4;14)\ne (3;4;14)$ → sai.

b) $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ nên $B=A+\vec{a}=(3-3;4-4;-2+14)=(0;0;12)$ → đúng.

c) $2\vec{a}=(-6;-8;28)$, $3\overrightarrow{OA}=(9;12;-6)$, nên $2\vec{a}-3\overrightarrow{OA}=(-15;-20;34)\ne (-15;-12;30)$ → sai.

d) $\overrightarrow{OB}=(0;0;12)$ nằm trên trục $Oz$. Diện tích tam giác $OBM$: $\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OM}=(-12y;12x;0)$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 12\sqrt{x^2+y^2}=12\Rightarrow x^2+y^2=4$. Tập hợp $M$ là mặt trụ tròn bán kính 2 quanh trục $Oz$. $AM$ nhỏ nhất khi hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $Oxy$ là điểm trên đường tròn $x^2+y^2=4$ gần $A^{\prime }(3;4)$ nhất, tức $M$ có $\left(\frac{6}{5};\frac{8}{5}\right)$ và $c=-2$ (cùng cao với $A$). Khi đó $a+b+c=\frac{6}{5}+\frac{8}{5}-2=\frac{4}{5}=0,8$ → đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) sai, b) đúng, c) sai, d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}=-3\vec{i}-4\vec{j}+14\vec{k}=(-3;-4;14)\ne (3;4;14)$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B=A+\vec{a}=(3-3;4-4;-2+14)=(0;0;12)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2\vec{a}-3\overrightarrow{OA}=(-6;-8;28)-(9;12;-6)=(-15;-20;34)\ne (-15;-12;30)$, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích $OBM=12$ với $|\overrightarrow{OB}|=12$ trên trục $Oz$ suy ra $x^2+y^2=4$ (mặt trụ bán kính 2). $AM$ nhỏ nhất tại $M\left(\frac{6}{5};\frac{8}{5};-2\right)$, khi đó $a+b+c=\frac{4}{5}=0,8$, đúng.