Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ và $G$ là giao điểm của hai đường thẳng $B{D}^{\prime }$ và $B^{\prime }I$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ gốc tại $B$, đặt $\vec{a}=\overrightarrow{BA}$, $\vec{c}=\overrightarrow{BC}$, $\vec{b}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$.

a) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\ne \overrightarrow{B^{\prime }D}$. Vậy ý a) sai.

b) $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $I$ là trung điểm $BD$, tức $B^{\prime }I$ là trung tuyến của tam giác $B{B}^{\prime }D$. Tọa độ: $B=\vec{0}$, $D=\vec{a}+\vec{c}$, $B^{\prime }=\vec{b}$, $I=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$, $D^{\prime }=\vec{a}+\vec{c}+\vec{b}$. Trọng tâm tam giác $B{B}^{\prime }D$ là $\frac{\vec{0}+\vec{b}+(\vec{a}+\vec{c})}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ (thuộc $B{D}^{\prime }$) và cũng bằng $\vec{b}+\frac{2}{3}\left(\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}-\vec{b}\right)$ (thuộc $B^{\prime }I$, chia trung tuyến theo tỉ số $2:1$). Vậy $G$ chính là trọng tâm tam giác $B{B}^{\prime }D$: ý b) đúng.

c) $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\ne \frac{1}{2}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Ý c) sai.

d) $\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{B}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}\right)=\frac{1}{3}\left(-2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BA}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Ý d) đúng.

Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 14: SDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\ne \overrightarrow{B^{\prime }D}$. Ý a) sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $I$ là trung điểm $BD$ nên $B^{\prime }I$ là trung tuyến tam giác $B{B}^{\prime }D$; điểm $\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ vừa thuộc $B{D}^{\prime }$ vừa chia $B^{\prime }I$ theo tỉ số $2:1$, nên $G$ là trọng tâm tam giác $B{B}^{\prime }D$. Ý b) đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\ne \frac{1}{2}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Ý c) sai.
d) $\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{B}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}\right)=\frac{1}{3}\left(-2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BA}\right)$.