Cho hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) Tiệm cận ngang của đồ thị $(C)$ có phương trình là $x=1$.
c) Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên tập xác định.
d) Đồ thị $(C)$ là đường cong như hình sau:

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}=-1+\frac{1}{x-1}$.
a) Đúng: Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) Sai: Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-1$ nên tiệm cận ngang là $y=-1$; còn $x=1$ là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang.
c) Sai: $y^{\prime }=\frac{-1\cdot (x-1)-(-x+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-x+1+x-2}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, nhưng không nghịch biến trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (vì không liên tục tại $x=1$).
d) Đúng: Đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$, đi qua $(0;-2)$ và $(2;1)$, đúng như hình vẽ trong đề (nhánh phải nằm phía trên tiệm cận ngang, nhánh trái phía dưới). Kết quả trùng với đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-x+2}{x-1}=-1$ nên tiệm cận ngang là $y=-1$; $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ nhưng không nghịch biến trên toàn tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hyperbol có TCĐ $x=1$, TCN $y=-1$, đi qua $(0;-2)$ và $(2;1)$, khớp với hình vẽ trong đề.