Cho hàm số: $y=f(x)=\frac{x^2+(n+1)x+m+n}{x+1}$. Tìm tất cả các giá trị thực của các tham số $m,n$ để đồ thị hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại điểm $(-2;-2)$.

Ta có: $f^{\prime }(x)=1-\frac{m}{(x+1{)}^2}$, với mọi $x\ne -1$.
Nếu $m\le 0$ thì $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\ne -1$ (loại).
Nếu $m>0$ thì phương trình: $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x+1-m}{(x+1{)}^2}=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1=-1-\sqrt{m}$ và $x_2=-1+\sqrt{m}$.
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm $(2;-2)$ khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}-1-\sqrt{m}=-2\\ f(-2)=-2\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}\sqrt{m}=1\\ n=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m=1\\ n=1\end{array}$
Vậy $m=n=1$.