Giải hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2\\ y\left(\sqrt{x^2+4}-2\right)=\sqrt{3x^2+5}\end{array}.$$

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x>0\\ y\ne 0\end{array}$.
Vì $\sqrt{x^2+4}-2>0,\forall x>0$ nên từ $(2)\Rightarrow y>0$.
$(1)\Rightarrow y\sqrt{x}+y^2=2x\sqrt{x}+2xy\iff \sqrt{x}(y-2x)+y(y-2x)=0$
$\iff (y-2x)\left(\sqrt{x}+y\right)=0\iff y=2x$ (3)
(Vì $x>0;y>0$ nên $\sqrt{x}+y>0$).
Thay $(3)$ vào $(2)$ ta có $2x\left(\sqrt{x^2+4}-2\right)=\sqrt{3x^2+5}\iff \frac{2x}{\sqrt{3x^2+5}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}-2}$ (4).
Xét các hàm số $f(x)=\frac{2x}{\sqrt{3x^2+5}}$ và $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}-2}$ trên khoảng $(0;+\infty )$.
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{10}{{\left(\sqrt{3x^2+5}\right)}^3}>0$, $g^{\prime }(x)=\frac{-x}{\sqrt{x^2+4}.{\left(\sqrt{x^2+4}-2\right)}^2}<0,\forall x>0$.
Suy ra $f(x)$ là hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $g(x)$ là hàm nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
Mặt khác $f\left(\sqrt{5}\right)=g\left(\sqrt{5}\right)=1$ nên $x=\sqrt{5}$ là nghiệm duy nhất của phương trình (4).
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y)=\left(\sqrt{5};2\sqrt{5}\right)$.