Cho hàm số $y=f(x)=-x^3+3x^2+2$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=f(x)=-x^3+3x^2+2$, có $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. a) Trên đoạn $[-2;1]$: $f(-2)=22$, $f(0)=2$, $f(1)=4$; trên $[-2;0]$ hàm nghịch biến, trên $[0;1]$ đồng biến nên GTNN bằng $f(0)=2$ → đúng. b) $f^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<2$ nên hàm đồng biến trên $(0;2)$ → đúng. c) $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu → đúng. d) Điểm cực trị: cực tiểu $(0;2)$, cực đại $(2;6)$ (vì $f(2)=6$). Khoảng cách $=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;1]$, so sánh $f(-2)=22$, $f(0)=2$, $f(1)=4$; hàm nghịch biến trên $[-2;0]$ và đồng biến trên $[0;1]$ nên GTNN $=f(0)=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-3x(x-2)>0$ khi $x\in (0;2)$ nên hàm đồng biến trên $(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu ($f(0)=2$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;6)$, khoảng cách $=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$.