Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^2+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ. Ký hiệu $f^2(x)=f\left(f(x)\right)$, Phương trình $f^{2024}(x)=-2$ có $2^m$ nghiệm thực phân biệt thuộc $[-2;2]$. Tìm $m$?

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: đỉnh $(0,-2)$ và đi qua $(\pm 2,2)$ nên $f(x)=x^2-2$ (kiểm tra: $f(0)=-2$, $f(\pm 2)=2$ đúng hình).

Đếm nghiệm của $f^n(x)=-2$:
- $n=1$: $x^2-2=-2\iff x=0$: 1 nghiệm.
- $n=2$: $f(x)=0\iff x=\pm \sqrt{2}$: 2 nghiệm $=2^1$.
- $n=3$: $f^2(x)=0\iff f(x)=\pm \sqrt{2}$, mỗi trường hợp cho 2 nghiệm: 4 nghiệm $=2^2$.
- $n=4$: $f^3(x)=0\iff f^2(x)=\pm \sqrt{2}$; với $f^2(x)=\sqrt{2}$ thì $f(x)=\pm 2$ (4 nghiệm), với $f^2(x)=-\sqrt{2}$ thì $f(x)=\pm 1$ (4 nghiệm): 8 nghiệm $=2^3$.

Quy nạp: nếu $f^n(x)=-2$ có $2^{n-1}$ nghiệm với mọi giá trị trung gian nằm trong $(-2,2]$, thì $f^{n+1}(x)=-2\iff f^n(x)=0$, và mỗi phương trình $f^n(x)=t$ với $t\in (-2,2]$ cho đúng 2 nghiệm phân biệt (vì $x^2-2=t\iff x=\pm \sqrt{t+2}$, hai nghiệm phân biệt khi $t>-2$). Các giá trị trung gian xuất hiện chỉ là $0,\pm 1,\pm \sqrt{2},\pm 2$, đều $>-2$, nên phép nhân đôi luôn đúng và mọi nghiệm đều thuộc $[-2;2]$.

Vậy $f^{2024}(x)=-2$ có $2^{2023}$ nghiệm phân biệt thuộc $[-2;2]$, suy ra $m=2023$.