Cho tam giác $ABC$ có hai trung tuyến kẻ từ $A$ và $B$ vuông góc với nhau. Khi đó tỉ số $\frac{AC+BC}{AB}$ đạt giá trị lớn nhất bằng ? ( làm tròn đến hàng phần trăm)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a=BC,b=CA,c=AB$; hai trung tuyến $m_a,m_b$ cắt tại trọng tâm $G$ với $GA=\frac{2}{3}{m}_a,GB=\frac{2}{3}{m}_b$ và $\angle AGB=90^{\circ }$, nên $c^2=\frac{4}{9}(m_a^2+m_b^2)$. Kết hợp công thức trung tuyến $4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2$, $4m_b^2=2a^2+2c^2-b^2$ giải ra $a=\frac{2}{3}\sqrt{m_a^2+4m_b^2},b=\frac{2}{3}\sqrt{4m_a^2+m_b^2},c=\frac{2}{3}\sqrt{m_a^2+m_b^2}$. Đặt $t=\frac{m_a}{m_b}>0$, cần max $f(t)=\frac{\sqrt{t^2+4}+\sqrt{4t^2+1}}{\sqrt{t^2+1}}$. Bình phương: với $u=t^2+1\ge 1$ thì $4t^4+17t^2+4=4u^2+9u-9$, nên $f^2=5+2\sqrt{4+\frac{9}{u}-\frac{9}{u^2}}$. Hàm $g(u)=4+\frac{9}{u}-\frac{9}{u^2}$ có $g^{\prime }(u)=0\Rightarrow u=2$, $g(2)=\frac{25}{4}$ (giá trị lớn nhất vì $g\to 4$ khi $u\to \infty$, $g(1)=4$). Vậy $f_{\max }^2=5+2\cdot \frac{5}{2}=10$, tức $f_{\max }=\sqrt{10}\approx 3,1623$, đạt tại $t=1$ (tam giác cân). Làm tròn: $3,16$.