Cho hàm số $y=g(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tập xác định của $g$ là $[-2;+\infty )$ (khoảng trước $-2$ bị gạch chéo), $g(-2)=0$, $g$ đồng biến từ $0$ đến $+\infty$ trên $(-2;0)$ (khi $x\to 0^{-}$ thì $g(x)\to +\infty$), $g(0)=1$ và $g$ nghịch biến từ $1$ xuống $-\infty$ trên $(0;+\infty )$.

a) Trên $(0;+\infty )$ ta có $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$: ĐÚNG.

b) Trên $(-2;0)$: $g(-2)=0$ và $g$ đồng biến, $g(x)\ge 0$, đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ (cắt tại điểm này). Trên $(0;+\infty )$: $g$ liên tục, giảm từ $1$ đến $-\infty$ nên theo định lý giá trị trung gian, đồ thị cắt trục hoành tại đúng một điểm. Vậy đồ thị luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm: ĐÚNG.

c) Tại $x=0$, do ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty$ nên hàm số không liên tục tại $x=0$, không thể đạt cực đại tại đó (cực đại yêu cầu hàm liên tục và đổi dấu đạo hàm từ $+$ sang $-$ quanh điểm đó với giá trị hữu hạn): SAI.

d) Xét $y=\frac{1}{g(x)-1}$:
- Tiệm cận đứng: $g(x)=1$ xảy ra tại đúng một điểm trên $(-2;0)$ (vì $g$ đồng biến từ $0$ đến $+\infty$) và tại $x=0$ (vì $g(0)=1$, mẫu số bằng $0$). Vậy $a=2$.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{g(x)-1}=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{g(x)-1}=0$ nên có $b=1$ đường tiệm cận ngang $y=0$.
Khi đó $a^2+b^2=4+1=5\ne 10$: SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$ có $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(-2)=0$ nên đồ thị cắt trục hoành tại $x=-2$; trên $(0;+\infty )$ hàm liên tục giảm từ $1$ đến $-\infty$ nên còn cắt trục hoành thêm một điểm. Vậy luôn cắt trục hoành ít nhất một điểm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty$, hàm số không liên tục tại $x=0$ nên không đạt cực đại tại đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=1$ có đúng một nghiệm trên $(-2;0)$ và tại $x=0$ nên $a=2$; hàm số có $b=1$ tiệm cận ngang $y=0$. Suy ra $a^2+b^2=5\ne 10$.