Cho hình chóp $S.ABC$, biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $SA=2\sqrt{3}$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB=6$, $BC=8$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Giá trị của $\left|\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{AM}\right|+\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{AB}$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $B=(0;0;0)$, $A=(6;0;0)$, $C=(0;8;0)$ (tam giác $ABC$ vuông tại $B$), $M=(0;4;0)$ trung điểm $BC$, $S=(6;0;2\sqrt{3})$ (vì $SA\perp (ABC)$, $SA=2\sqrt{3}$).

Ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SM}$. Với $\overrightarrow{SM}=(-6;4;-2\sqrt{3})$ thì $3\overrightarrow{SM}=(-18;12;-6\sqrt{3})$. Cộng với $\overrightarrow{AM}=(-6;4;0)$ được $(-24;16;-6\sqrt{3})$.

Độ dài: $\sqrt{576+256+108}=\sqrt{940}=2\sqrt{235}$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}=(-6;0;0)$ nên $\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{AB}=(-6)(-6)=36$.

Kết quả: $2\sqrt{235}+36\approx 66,68$. Lưu ý dấu: $\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{AB}=36$ (dương), không phải $-36$.