Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ là $\frac{a\sqrt{15}}{5}$, khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ là $\frac{a\sqrt{15}}{5}$. Biết hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm trong tam giác $ABC$, tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $B=(-a/2,0,0)$, $C=(a/2,0,0)$, $A=(0,\frac{a\sqrt{3}}{2},0)$, $S=(x,y,h)$ với $h>0$.

**Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$:** mặt phẳng $(SBC)$ đi qua $BC$ (trục hoành) có phương trình dạng $hY=yZ$, nên
$$d(A,(SBC))=\frac{h\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{h^2+y^2}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}h=\frac{\sqrt{15}}{5}\sqrt{h^2+y^2}.$$

**Khoảng cách giữa $SA$ và $BC$:** với $\vec{u}=\overrightarrow{AS}$, $\vec{v}=\overrightarrow{BC}=(1,0,0)$:
$$d(SA,BC)=\frac{|(B-A)\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{|\vec{u}\times \vec{v}|}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}h}{\sqrt{h^2+{\left(y-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}h=\frac{\sqrt{15}}{5}\sqrt{h^2+{\left(y-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}.$$

So sánh hai đẳng thức suy ra $y^2={\left(y-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2\Rightarrow y=\frac{a\sqrt{3}}{4}$ (hình chiếu của $S$ nằm trên đường trung tuyến $AM$, phù hợp giả thiết hình chiếu nằm trong tam giác).

Thay vào: $\frac{3}{4}{h}^2=\frac{3}{5}\left(h^2+y^2\right)\Rightarrow \frac{3}{20}{h}^2=\frac{3}{5}{y}^2\Rightarrow h^2=4y^2\Rightarrow h=2y=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Thể tích:
$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3}{8}.$$
Vậy đáp án A.